Điều tưởng như vô lý này thực chất lại là một trong những cột mốc quan trọng nhất trong lịch sử toán học, khi Bertrand Russell và Alfred North Whitehead quyết tâm xây dựng lại toàn bộ nền tảng của toán học hiện đại.
Để hiểu được vì sao hai nhà toán học này lại bỏ ra một phần quan trọng của cuộc đời mình chỉ để chứng minh một điều mà ai cũng tin là đúng, trước tiên chúng ta cần nhìn lại cách mà toán học phát triển từ thời cổ đại cho đến khi nó trở nên vô cùng phức tạp.
Từ hàng nghìn năm trước, toán học đã là một công cụ quan trọng giúp con người giải thích thế giới. Ban đầu, nó chủ yếu xoay quanh số học và hình học, những lĩnh vực mà con người có thể trực tiếp quan sát và ứng dụng trong đời sống hàng ngày. Người Hy Lạp cổ đại, với đại diện tiêu biểu là Euclid, đã đặt nền móng cho hệ thống toán học dựa trên các tiên đề và định lý.
Đối với họ, những định luật như “hai đường song song không bao giờ cắt nhau” hay “tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng 180 độ” là những sự thật hiển nhiên, không cần phải chứng minh.
Thế nhưng, khi toán học phát triển, các nhà khoa học bắt đầu khám phá ra những khái niệm mới như số ảo, số vô cực, và đặc biệt là hình học phi Euclid, nơi mà những nguyên tắc truyền thống bị đảo lộn hoàn toàn.
Điều này làm dấy lên một cuộc khủng hoảng trong cộng đồng toán học: liệu toàn bộ những gì chúng ta tin là đúng có thực sự không thể bác bỏ?
Chính trong bối cảnh đó, Bertrand Russell và Alfred North Whitehead đã xuất hiện với một tham vọng chưa từng có: xây dựng lại toàn bộ nền tảng toán học dựa trên logic thuần túy, không phụ thuộc vào trực giác hay quan sát.
Họ tin rằng nếu toán học muốn trở thành một hệ thống tri thức hoàn hảo, thì ngay cả những định lý cơ bản nhất cũng cần phải được chứng minh một cách chặt chẽ. Và họ quyết định bắt đầu từ điều hiển nhiên nhất: 1 + 1 = 2.
Thách thức mà họ đối mặt là làm sao để định nghĩa một cách chính xác các khái niệm “1”, “+”, “=”, và “2” mà không dựa vào trực giác.
Đối với chúng ta, khi nói “một cái ghế cộng với một cái ghế bằng hai cái ghế”, ta đang dựa vào sự quan sát trong thực tế. Nhưng đối với Russell và Whitehead, họ không thể làm như vậy. Họ cần phải chứng minh rằng ngay cả khi không có bất cứ thứ gì trong thế giới thực để minh họa, toán học vẫn có thể tự chứng minh tính hợp lệ của nó.
Để làm được điều này, họ đã phát triển một hệ thống mang tên chủ nghĩa hình thức, trong đó toàn bộ toán học được diễn đạt bằng các ký hiệu và quy tắc logic nghiêm ngặt. Mọi khái niệm, dù đơn giản đến đâu, đều phải được xây dựng từ những nguyên tắc cơ bản nhất.
Thế nhưng, điều mà họ tưởng chừng có thể hoàn thành trong một vài năm lại kéo dài đến hơn một thập kỷ. Công việc chứng minh 1 + 1 = 2 không chỉ đơn thuần là viết ra một vài công thức, mà là một quá trình xây dựng cả một hệ thống toán học từ con số 0.
Họ phải định nghĩa số đếm, sau đó xây dựng phép cộng, rồi từ đó chứng minh rằng khi lấy một số cộng với chính nó, ta sẽ được một số lớn hơn.
Tất cả những điều này được trình bày trong Principia Mathematica, một bộ sách gồm ba tập đồ sộ. Trong đó, phép toán đơn giản 1 + 1 = 2 chỉ xuất hiện ở định lý số 54 của tập thứ hai, sau khi đã qua hàng trăm trang định nghĩa và chứng minh.
Công trình của họ đồ sộ đến mức ngay cả các nhà toán học cũng gặp khó khăn khi tiếp cận. Chính Russell sau này thừa nhận rằng có lẽ chỉ có sáu người trên thế giới thực sự đọc hết toàn bộ tác phẩm.
Không chỉ khó hiểu, Principia Mathematica còn gặp rắc rối khi không có nhà xuất bản nào dám in ra vì lo ngại không ai mua. Cuối cùng, hai tác giả phải tự bỏ tiền túi để xuất bản cuốn sách, nhưng ngay sau khi nó ra đời, một cú sốc lớn đã xảy ra: nhà toán học trẻ tuổi Kurt Gödel đã chứng minh rằng không có hệ thống toán học nào có thể đảm bảo tính toàn vẹn và tính nhất quán cùng một lúc, bao gồm cả hệ thống mà Russell và Whitehead đã xây dựng.
Nói cách khác, 10 năm nghiên cứu của họ đã không thể đạt được mục tiêu cuối cùng là tạo ra một hệ thống toán học hoàn toàn không thể bác bỏ.
Mặc dù vậy, ảnh hưởng của Principia Mathematica là không thể chối cãi. Nó đã đặt nền móng cho nhiều lĩnh vực hiện đại như logic toán học, khoa học máy tính, và trí tuệ nhân tạo.
Nếu không có những nỗ lực của Russell và Whitehead, chúng ta có lẽ sẽ không có những ngôn ngữ lập trình hay các hệ thống chứng minh tự động trong toán học ngày nay.
Công trình của họ cũng là một bài học quan trọng về khoa học: ngay cả những điều tưởng như hiển nhiên nhất cũng cần phải được xem xét kỹ lưỡng. Không có gì là “hiển nhiên” khi chúng ta đi sâu vào bản chất của tri thức.
Câu chuyện về 1 + 1 = 2 không chỉ là một giai thoại thú vị mà còn là minh chứng cho sự kiên trì và tinh thần tìm tòi của con người. Nó nhắc nhở chúng ta rằng khoa học và toán học không chỉ đơn thuần là việc đưa ra câu trả lời, mà còn là hành trình tìm kiếm sự thật, ngay cả khi sự thật đó đã được chấp nhận từ lâu.
Lấy link